Adicione formule(sa bloga profesorka.wordpress.com)

Posted: 16. април 2012. in Uncategorized

Adicione formule za kosinus

Adicione formule su formule kojima se računa cos(α ± β), sin(α ± β), tg(α ± β), … Ove formule su veoma korisne i mogu nam pomoći pri uprošćavanju izraza i rešavanju jednačina.

Da li je cos 15° = cos(45° – 30°)? Reklo bi se da jeste. Ovde ćemo istražiti i naći izraz koji će biti jednak cos(45° – 30°). Da bismo ovo uopštili, neka su dva data ugla α i β takvi da je 0 < β < α < 2π.

Počećemo sa jediničnim krugom i postavićemo uglove α i β u standardni položaj kao što se vidi na slici iznad. Tačka P2 leži na završavajućem kraku ugla β, pa su njene koordinate (cos β, sin β), a tačka P1 leži na završavajućem kraku ugla α, pa su njene koordinate (cos α, sin α). Postavite sada ugao α – β u standardnu poziciju, kao što je prikazano na slici ispod. Tačka A ima koordinate (1, 0), a tačka P3 je na završavajućem kraku ugla α – β, pa su njene koordinate (cos(α – β), sin(α – β)).

Trougao OP1P2 sa prve slike i trougao OAP3 sa druge slike su podudarni. (SUS – kraci uglova su dužine 1, a zaklapajući ugao je α – β). Zato su nepoznate stranice oba trougla takođe podudarne. To jest: AP3 = P1P2.

Primenjujući Pitagorinu teoremu na rastojanje na prvoj slici, dobijamo:

Na drugoj slici dobijamo:

Izjednačavajući dva izraza dobijamo:

Kvadrirajući sva četiri izraza i uprošćavajući dobijamo:

U dobijenoj formuli za kosinus razlike, možemo zameniti α – (-β) = α + β da bi dobili:

Tako da je:

što je formula za kosinus zbira.

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s